Question

我們把數(shù)列{a_n^k}叫做數(shù)列{a_n}的k方數(shù)列（其中a_n＞0，k，n是正整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
（1）比較S（1，2）•S（3，2）與[S（2，2）]²的大��；
（2）若數(shù)列{a_n}的1方數(shù)列、2方數(shù)列都是等差數(shù)列，a₁=a，求數(shù)列{a_n}的k方數(shù)列通項(xiàng)公式．
（3）對(duì)于常數(shù)數(shù)列a_n=1，具有關(guān)于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，請(qǐng)你對(duì)數(shù)列{a_n}的k方數(shù)列進(jìn)行研究，寫(xiě)出一個(gè)不是常數(shù)數(shù)列{a_n}的k方數(shù)列關(guān)于S（k，n）的恒等式，并給出證明過(guò)程．

Answer 1

解：（1）S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²…（2分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²…（4分）
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²
∵a_n＞0，，∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²…（5分）
（2）設(shè)a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p…（7分）
則 d（a_n+a_n-1）=p…①d（a_n+1+a_n）=p…②
∴②-①得 2d²=0，∴d=p=0 …（9分）a_n=a_n-1，∴a_n^k-a_n-1^k=0
∴a_n^k=a^k…（11分）
（3）當(dāng)a_n=n時(shí)，恒等式為[S（1，n）]²=S（3，n） …（15分）
證明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）
相減得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³
∴[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²
相減得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，，a_n＞0a_n-a_n-1=1，，a₁=1
∴a_n=n…（18分）
分析：（1）由S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²，知S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²=a₁a₂（a₁-a₂）²，由a_n＞0，知S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²．
（2）設(shè)a_n-a_n-1=d，a_n²-a_n-1²=p，則d（a_n+a_n-1）=p，d（a_n+1+a_n）=p，2d²=0，所以d=p=0，a_n=a_n-1，由此能求出a_n^k=a^k．
（3）當(dāng)a_n=n時(shí)，恒等式為[S（1，n）]²=S（3，n）．證明：[S（1，n）]²=S（3，n）[S（1，n-1）]²=S（3，n-1），（n≥2，n∈N*）相減得：a_n[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n³，[S（1，n）+S（1，n-1）]=a_n²[S（1，n-1）+S（1，n-2）]=a_n-1²，由此得證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．