Question

已知y=f（x）為R上的奇函數(shù)，且滿足f（2+x）=f（2-x），f（6）=3，若sinα=2cosα，則f（2013sin²α-sinαcosα）=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：由商的關(guān)系求出tanα=2，再由平方關(guān)系求出2013sin²α-sinαcosα的值，根據(jù)f（2+x）=f（2-x），及奇函數(shù)的定義，可得f（x）為周期為8的函數(shù)，再由周期即可得到所求值．

解答： 解：∵sinα=2cosα，∴tanα=2，
則2013sin²α+sinα•cosα=

2013sin2α-sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2013tan2α-tanα

tan2α+1

=

2013×4-2

4+1

=1610，
∵f（x+2）=f（2-x），則f（-x）=f（x+4），
y=f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），
即有f（4+x）=-f（x），即有f（x+8）=-f（x+4）=f（x）．
則f（x）是以8為最小正周期的函數(shù)，
即有f（1610）=f（8×201+2）=f（2），
令x=4代入f（x+2）=f（2-x），得f（6）=f（-2）
∵f（6）=3，∴f（-2）=3，則f（2）=-f（-2）=-3．
即有f（2013sin²α-sinαcosα）=-3．
故答案為：-3．

點評：本題主要考查了同角的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系的應(yīng)用，即由正切的值求有關(guān)三角函數(shù)式的值的轉(zhuǎn)化，同時考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，屬于中檔題．