Question

如圖，放置的邊長(zhǎng)為1的正三角形PAB沿 x軸滾動(dòng)．設(shè)頂點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是y=f（x），記f（x）的最小正周期為T(mén)；y=f（x）在其兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積記為S，則S•T=

 

．

Answer 1

分析：由已知中長(zhǎng)為1的正三角形PAB沿 x軸滾動(dòng)，我們易畫(huà)出滾動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)P的國(guó)軌跡，頂點(diǎn)P（x，y）的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式是y=f（x），由圖象我們易分析出f（x）的最小正周期T的值，；由其點(diǎn)P的軌跡圖象可以得出其軌跡與X軸所圍成的圖形是一個(gè)個(gè)相鄰的半圓，即兩零點(diǎn)之間的圖象與X軸圍成的圖形是2個(gè)

1

3

圓，由公式計(jì)算出面積即可得到答案．

解答：解：由已知中邊長(zhǎng)為1的正三角形PAB沿 x軸滾動(dòng)
則滾動(dòng)二次后，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)和起始位置一樣第三次滾動(dòng)時(shí)以點(diǎn)P為圓心，故點(diǎn)P不動(dòng)，
故函數(shù)y=f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，即T=3
兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積如下圖所示：
由圖可知，其兩個(gè)零點(diǎn)之間所圍成的面積為以1為半徑的2個(gè)

1

3

圓再加上一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積，故其面積是

2π

3

+

3

4

，即S=

2π

3

+

3

4

，
所以S×T=2π+

3 3

4

，
故答案為：2π+

3 3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象及圖象變化，其中根據(jù)已知條件畫(huà)出滿足條件的函數(shù)的圖象，是解答本題的關(guān)鍵．本題較抽象，其中判斷周期易出錯(cuò)，要明白研究的函數(shù)是點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)之間的函數(shù)的關(guān)系，如此則不易出錯(cuò)了