Question

已知定點A（0，1），B（0，-1），C（1，0），動點P滿足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2
（1）求動點P的軌跡方程，并說明方程表示的曲線類型；
（2）求|

AP

+

BP

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，給出向量

AP

、

BP

、

PC

的坐標，由

AP

•

BP

=k|

PC

|2建立關(guān)于x、y的方程，化簡得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0．根據(jù)k是否等于1討論，可得方程所表示的曲線類型；
（2）k=2時，點P的軌跡方程為（x-2）²+y²=1，由此化簡得|

AP

+

BP

|=2

x2+y2

=2

4x-3

，利用1≤x≤3即可算出|

AP

+

BP

|的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)動點P（x，y），可得

AP

=(x，y-1)，

BP

=(x，y+1)，

PC

=(1-x，-y)，
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|2，
∴x²+y²-1=k（x-1）²+ky²
化簡得（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-（k+1）=0…4分
①當k=1時，方程為x=1，表示直線；…5分
②當k≠1時，方程為(x-

k

k-1

)2+y2=(

1

k-1

)2，
方程表示(

k

k-1

，0)為圓心、

1

|k-1|

為半徑的圓．…7分
（2）當k=2時，點P的軌跡方程為（x-2）²+y²=1，
∴|

AP

+

BP

|=2

x2+y2

將（x-1）²+y²=1化簡得x²+y²=4x-3，
∴|

AP

+

BP

|=2

4x-3

，…10分
結(jié)合1≤x≤3，可得|

AP

+

BP

|_max=6，|

AP

+

BP

|_min=2
∴|

AP

+

BP

|的取值范圍為：2≤|

AP

+

BP

|≤6，…13分

點評：本題給出動點P滿足的條件，求P的軌跡方程，并求向量模的取值范圍．著重考查了向量的坐標運算、向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和動點軌跡方程求法等知識，屬于中檔題．