Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n＞0，且3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)=(2n+1)(a1+a2+…+an)．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)閚≥1時(shí)，3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

)=(2n+1)(a1+a2+…+an)，分別令n=1，2，3．從而求出a_n，再根據(jù)求出的結(jié)果猜想a_n=n即可；
（II）先根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)，把n=1代入求值不等式成立；再假設(shè)n=k時(shí)關(guān)系成立，利用變形可得n=k+1時(shí)關(guān)系也成立，綜合得到對(duì)于任意n∈N^*時(shí)都成立．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=2，a₃=3，猜想a_n=n．
（2）假設(shè)n≤k成立，即a_k=k，
下證n=k+1時(shí)，
3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 k

+

a

2 k+1

)=3(

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 k

)+3

a

2 k+1

=(2k+1) • 

k(k+1)

2

+3

a

2 k+1

=(2k+3)[

k(k+1)

2

+ak+1]
∴由3

a

2 k+1

-(2k+3)ak+1-k(k+1)=0，
解得a_k+1=k+1
綜上，a_n=n（n∈N^*），

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，考查數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．