Question

1．已知平面五邊形ADCEF關(guān)于BC對稱，點B在AF上（如圖1），DE與BC交于點G，且AD=AB=1，CD=BC=$\sqrt{3}$，將此圖形沿BC折疊成直二面角，連接AF，DE得到幾何體（如圖2）．
（1）證明：平面DEG∥平面ABF；
（2）求多面體ABC-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）證明：DG∥平面ABF，GE∥平面ABF，利用平面與平面平行的判定定理證明平面DEG∥平面ABF；
（2）圖（2），連接DF，GF，則多面體ABC-DEF的體積=V_F-ABGD+V_F-DGE．

解答 （1）證明：由平面圖形，可得DG∥AB，GE∥BF，
∵DG?平面ABF，AB?平面ABF，
∴DG∥平面ABF．
同理GE∥平面ABF．
∵DG∩GE=G，
∴平面DEG∥平面ABF；
（2）解：圖（1），連接AC，則由勾股定理可得AC=2，
∴∠BCD=60°，
∴DG=$\frac{3}{2}$，BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
圖（2），連接DF，GF，則多面體ABC-DEF的體積=V_F-ABGD+V_F-DGE=$\frac{1}{3}×\frac{1+\frac{3}{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1$+$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\frac{3}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7\sqrt{3}}{12}$．

點評 本題考查線面平行、平面與平面平行的判定，考查幾何體體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．