Question

（2013•安徽）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

6

．
（Ⅰ）證明：PC⊥BD
（Ⅱ）若E為PA的中點，求三棱錐P-BCE的體積．

Answer 1

分析：（I）連接AC交BD于O，連接PO．菱形ABCD中，證出AC⊥BD且O是BD的中點，從而得到PO是等腰△PBD中，PO是底邊BD的中線，可得PO⊥BD，結合PO、AC是平面PAC內的相交直線，證出BD⊥平面PAC，從而得到PC⊥BD；
（II）根據ABCD是邊長為2的菱形且∠BAD=60°，算出△ABC的面積為

3

，△PAO中證出AO²+PO²=6=PA²可得PO⊥AC，結合PO⊥BD證出PO⊥平面ABCD，所以PO=

3

是三棱錐P-ABC的高，從而三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC=1，再由E為PA中點算出三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC=

1

2

，進而可得三棱錐P-BCE的體積等于V_P-ABC-V_E-ABC=

1

2

，得到本題答案．

解答：解：（I）連接AC交BD于O，連接PO
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且O是BD的中點
∵△PBD中，PD=PB，O為BD中點，∴PO⊥BD
∵PO、AC?平面PAC，PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD；
（II）∵ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，
∴BO=

1

2

AB=1，AC=

3

AB=2

3

，可得△ABC的面積為S=

1

2

AC×BO=

3

∵△PBD中，PB=PD=BD=2，∴中線PO=

3

2

BD=

3

因此，△PAO中AO²+PO²=6=PA²
∴PO⊥AC，結合PO⊥BD得到PO⊥平面ABCD，
得到三棱錐P-ABC的體積V_P-ABC=

1

3

×S_△ABC×PO=

1

3

×

3

×

3

=1
∵E為PA中點，∴E到平面ABC的距離d=

1

2

PO=

3

2

由此可得三棱錐E-ABC的體積V_E-ABC=

1

3

×S_△ABC×d=

1

3

×

3

×

3

2

=

1

2

因此，三棱錐P-BCE的體積V_P-EBC=V_P-ABC-V_E-ABC=

1

2

．

點評：本題給出底面為菱形的四棱錐，求證線線垂直并求錐體的體積，著重考查了線面垂直的判定與性質、菱形的性質及面積計算和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．