Question

11．在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的所對的邊分別為a、b、c，若2acosC+c=2b，則$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 銳角△ABC中，利用余弦定理求出cosA以及A的值，再求出B的取值范圍，化簡$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$，即可求它的取值范圍．

解答 解：銳角△ABC中，2acosC+c=2b，
∴2a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c=2b，
即a²+b²-c²+bc=2b²，
∴bc=b²+c²-a²，
∴cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
得A=$\frac{π}{3}$；
∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{6}$）≤1；
∴$\sqrt{3}$sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$+cos²$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1+cosB}{2}$=sin（B+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
它的取值范圍是（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
故答案為：（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等變換以及余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．