下列命題:
①若函數(shù)h(x)=cos4x-sin4x,則h′(
π
12
)=0
;
②若函數(shù)g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013),則g'(2013)=2012!;
③若三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則“a+b+c=0”是“f(x)有極值點(diǎn)”的充要條件;
④函數(shù)f(x)=
sinx
2+cosx
的單調(diào)遞增區(qū)間是(2kπ-
3
,2kπ+
3
)(k∈Z)

其中真命題為
②④
②④
.(填序號)
分析:①對函數(shù)整理后求導(dǎo),將
π
12
代入導(dǎo)函數(shù)解析式即可;
②利用乘積的求導(dǎo)法則對函數(shù)整理后求導(dǎo),將2013代入導(dǎo)函數(shù)解析式即可;
③f(x)為三次函數(shù),“f(x)有極值點(diǎn)”的充要條件是導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),考慮其△即可;
④求導(dǎo)函數(shù),令f′(x)>0,可得f(x)的增區(qū)間
解答:解:①由于函數(shù)h(x)=cos4x-sin4x=(cos2x-sin2x)(cos2x+sin2x)=cos2x-sin2x=cos2x,則h′(x)=-2sin2x
h′(
π
12
)=-2sin2×
π
12
=-1
,故①為假命題;
②由于函數(shù)g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013),
則g'(x)=[(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013)][(x-1)(x-3)…(x-2012)(x-2013)]…[(x-1)(x-2)…(x-2011)(x-2012)]
故g'(2013)=2012•2011•2010…2•1=2012!,故②為真命題;
③f′(x)=3ax2+2bx+c,f(x)有極值點(diǎn)?f′(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根?△=4b2-12ac>0,故命題③為假命題;
④由于函數(shù)f(x)=
sinx
2+cosx
,則導(dǎo)函數(shù)f′(x)=
2cosx+1
(2+cosx)2

令f′(x)>0,則2cosx+1>0,解得2kπ-
3
<x<2kπ+
3
 (k∈Z)

故f(x)的增區(qū)間是(2kπ-
3
,2kπ+
3
)(k∈Z)
,故④為真命題.
故答案為②④
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,主要考查函數(shù)的單調(diào)性,及函數(shù)的求導(dǎo)法則,正確求導(dǎo),考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有下列命題:
①若f(x)存在導(dǎo)函數(shù),則f′(2x)=[f(2x)]′;
②若函數(shù)h(x)=cos4x-sin4x,則h′(
π
12
)=[h(
π
12
)]′;
③若函數(shù)g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010),則g′(2010)=2009!;
④若三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則“a+b+c=0”是“f(x)有極值點(diǎn)”的充要條件.
其中真命題的序號是( 。
A、③B、①③④C、①③D、②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題:
①若f(x)存在導(dǎo)函數(shù),則f′(2x)=[f(2x)]′;
②若函數(shù)h(x)=cos4x-sin4x,則h′(
π12
)=0;
③若函數(shù)g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2010)(x-2011),則g′(2011)=2010。
④若三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則“a+b+c=0”是“f(x)有極值點(diǎn)”的充要條件.
其中假命題為
①②④
①②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題:
①若f(x)存在導(dǎo)函數(shù),則f′(2x)=[f(2x)]′;
②若函數(shù)h(x)=cos4x-sin4x,則h′(
π
12
)=0;
③若函數(shù)g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2012)(x-2013),則g′(2013)=2012!;
④若三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則“a+b+c=0”是“f(x)有極值點(diǎn)”的充要條件;
⑤函數(shù)f(x)=
sinx
2+cosx
的單調(diào)遞增區(qū)間是(2π-
3
,2kπ+
3
)(k∈z).
其中真命題為
③⑤
③⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有下列命題:
①若函數(shù)h(x)=cos4x-sin4x,則h′(
π12
)=-1
;
②若函數(shù)f(x)在R存在導(dǎo)函數(shù),則f′(2x)=[f(2x)]';
③若函數(shù)g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2012)(x-2013),則g′(2013)=2012!;
④若三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d,則“a+b+c=0”是“f(x)有極值”的充要條件.
其中真命題的序號是
①③
①③

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