Question

有一種舞臺(tái)燈，外形是正六棱柱，在其每一個(gè)側(cè)面（編號(hào)為①②③④⑤⑥）上安裝5只顏色各異的燈，假若每只燈正常發(fā)光的概率為0.5．若一個(gè)側(cè)面上至少有3只燈發(fā)光，則不需要更換這個(gè)面，否則需要更換這個(gè)面，假定更換一個(gè)面需要100元，用ξ表示更換費(fèi)用．
（1）求①號(hào)面需要更換的概率；
（2）求6個(gè)面中恰好有2個(gè)面需要更換的概率；
（3）寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的條件可以判斷本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由題意知①號(hào)面不需要更換的對(duì)立事件是①號(hào)面需要更換，根據(jù)對(duì)立事件的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知本題滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，得到6個(gè)面中恰好有2個(gè)面需要更換的概率．
（3）由題意知本題的變量符合二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式得到分布列和期望，用公式來解比用一般的方法要簡(jiǎn)單得多．

解答：解：（1）由題意知①號(hào)面不需要更換的對(duì)立事件是①號(hào)面需要更換，
∵①號(hào)面不需要更換的概率為

C 3 5 + C 4 5 + C 5 5

25

=

1

2

，
∴①號(hào)面需要更換的概率為P=1-

1

2

=

1

2

．
（2）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，6個(gè)面中恰好有2個(gè)面需要更換的概率為
P6(2)=

C

2 6

(

1

2

)2(

1

2

)4=

C 2 6

26

=

15

64

．
（3）∵ξ～B(6，

1

2

)，
又P6(0)=

C 0 6

26

=

1

64

，P6(1)=

C 1 6

26

=

3

32

，
P6(2)=

C 2 6

26

=

15

64

，P6(3)=

C 3 6

26

=

5

16

，
P6(4)=

C 4 6

26

=

15

64

，P6(5)=

C 5 6

26

=

3

32

，
P6(6)=

C 6 6

26

=

1

64

，
∴維修一次的費(fèi)用ξ的分布為：

∵ξ～B(6，

1

2

)，
∴Eξ=100×6×

1

2

=300元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，注意滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件，解題過程中判斷概率的類型是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，這種題目高考必考，應(yīng)注意解題的格式．