Question

10．已知曲線C₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cost\\ y=3+sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）求C₁，C₂的普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應(yīng)的參數(shù)t=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線C₃$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}+\sqrt{3}t\\ y=-3-t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）用x，y表示出參數(shù)得正余弦，利用正余弦的平方和等于1消去參數(shù)得到普通方程；
（2）求出P點坐標(biāo)，設(shè)Q的坐標(biāo)，求出M的坐標(biāo)和C₃的普通方程，根據(jù)點到直線的距離公式求出距離的最小值．

解答 解：（1）∵C₁參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=-1+cost\\ y=3+sint\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴$\left\{\begin{array}{l}{cost=x+1}\\{sint=y-3}\end{array}\right.$，
∴C₁的普通方程為（x+1）²+（y-3）²=1．曲線C₁表示以（-1，3）為圓心，1為半徑的圓．
∵曲線C₂的參數(shù)方程為；$\left\{\begin{array}{l}x=6cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），∴$\left\{\begin{array}{l}{cosθ=\frac{x}{6}}\\{sinθ=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，
∴曲線C₂的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．曲線C₂表示焦點在x軸上的一個橢圓．
（2）∵C₁上P點對于的參數(shù)t=$\frac{π}{2}$，∴P點坐標(biāo)為P（-1，4）．
∵Q為C₂上的動點，設(shè)Q（6cosθ，2sinθ），則PQ中點M的坐標(biāo)為M（3cosθ$-\frac{1}{2}$，sinθ+2）．
∵直線C₃的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{3}+\sqrt{3}t\\ y=-3-t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），∴直線C₃的普通方程為x+$\sqrt{3}$y=0．
∴點M到直線C₃的距離d=$\frac{|3cosθ-\frac{1}{2}+\sqrt{3}sinθ+2\sqrt{3}|}{2}$=|$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$-$\frac{1}{4}$|．
∵$\sqrt{3}-\frac{1}{4}$$＜\sqrt{3}$，∴d≥0．
∴PQ中點M到直線C₃的距離的最小值為0．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．