Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，3)．
（1）設(shè)函數(shù)f(x)=(

m

+

n

)•

m

，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，

3

c=2asin(A+B)，對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），求f(B+

π

8

)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，以及倍角公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，再由正弦函數(shù)的增區(qū)間得：-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ，求出x的范圍表示成區(qū)間的形式即可；
（2）由正弦定理對(duì)所給的式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

3

sinC=2sinAsin(A+B)，再由內(nèi)角和定理和特殊角的正弦求出A，再由內(nèi)角和定理表示出C，根據(jù)內(nèi)角是銳角求出B的范圍，再化簡(jiǎn)f(B+

π

8

)，求出2B的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f(B+

π

8

)的范圍．

解答：解：（1）由題意得，(

m

+

n

)•

m

=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）
=sin²x+sinxcosx-2=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-2
=

2

2

sin(2x-

π

4

)-

3

2

，
則f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)-

3

2

，
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈z）得，
-

π

8

+kπ≤x≤

3π

8

+kπ（k∈z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

8

+kπ，

3π

8

+kπ]（k∈z），
（2）∵

3

c=2asin(A+B)
∴由正弦定理得，

3

sinC=2sinAsin(A+B)，
∵A+B+C=π，∴A+B=π-C代入上式得，sinA=

3

2

，
∵△ABC是銳角三角形，∴A=

π

3

，
∴c=π-

π

3

-B=

2π

3

-B，
則0＜

2π

3

-B＜

π

2

，且B是銳角，
解得

π

6

＜B＜

π

2

        ①，
由（1）得，f(B+

π

8

)=

2

2

sin[2(B+

π

8

)-

π

4

]-

3

2

=

2

2

sin2B-

3

2

，
由①得，

π

3

＜2B＜π，
當(dāng)2B=

π

2

時(shí)，f(B+

π

8

)取得最大值是

2 -3

2

，
當(dāng)2B=π時(shí)，f(B+

π

8

)取得最小值是-

3

2

，
故所求的取值范圍是（-

3

2

，

2 -3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值，正弦定理和內(nèi)角和定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，以及倍角公式、兩角差的正弦公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握公式并會(huì)運(yùn)用，考查整體思考和計(jì)算能力，是向量與三角函數(shù)結(jié)合題，常考的一種題型．