Question

（2013•惠州一模）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，一個頂點為B（0，-1），且其右焦點到直線x-y+2

2

=0的距離為3．
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)直線l過定點Q(0，

3

2

)，與橢圓交于兩個不同的點M、N，且滿足|BM|=|BN|．求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，易知b=1，設(shè)右焦點F（c，0），由條件得3=

|c-0+2 2 |

2

，可求得c值，根據(jù)a²=b²+c²，可得a值；
（2）易判斷直線l斜率不存在時不合題意，可設(shè)直線l：y=kx+

3

2

(k≠0)，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得x的二次方程，則△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），由|BN|=|BM|，則有BP⊥MN，所以kBP=

y0+1

x0

=-

1

k

，由韋達定理及中點坐標公式可得關(guān)于k的方程，解出k后驗證是否滿足△＞0，從而可得直線l的方程；

解答：解 （1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則b=1．
設(shè)右焦點F（c，0）（c＞0），則由條件得3=

|c-0+2 2 |

2

，得c=

2

．
則a²=b²+c²=3，
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）若直線l斜率不存在時，直線l即為y軸，此時M，N為橢圓的上下頂點，|BN|=0，|BM|=2，不滿足條件；
故可設(shè)直線l：y=kx+

3

2

(k≠0)，與橢圓

x2

3

+y2=1聯(lián)立，消去y得：(1+3k2)x2+9kx+

15

4

=0．
由△=(9k)2-4(1+3k2)•

15

4

＞0，得k2＞

5

12

．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），
由韋達定理得x1+x2=-

9k

1+3k2

，而y1+y2=k(x1+x2)+3=-

9k2

1+3k2

+3．
則x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

由|BN|=|BM|，則有BP⊥MN，kBP=

y0+1

x0

=

y1+y2 2 +1

x1+x2 2

=

- 9k2 1+3k2 +5

- 9k 1+3k2

=-

1

k

，
可求得k2=

2

3

，檢驗k2=

2

3

∈(

5

12

，+∞)，所以k=±

6

3

，
所以直線l的方程為y=

6

3

x+

3

2

或y=-

6

3

x+

3

2

．

點評：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查分類討論思想，判別式、韋達定理是解決該類題目常用知識，要熟練掌握，屬中檔題．