【題目】已知函數(shù)
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求證:
【答案】(1)時,在上是增函數(shù),時,在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)
(2)證明見解析
【解析】
(1)對求導,得到,根據(jù)的,對進行分類,分為,和;(2)令,先說明當時,不符合題意,再研究當時,利用導數(shù)得到最大值,根據(jù)有兩個零點,得到,易得,再利用導數(shù)證明時,,從而確定范圍為,再構造函數(shù),利用導數(shù)得到在上單調(diào)遞減,從而得以證明.
(1)易知的定義域為,且,
時,在上恒正,所以在上單調(diào)遞增,
時,對于,
①當,即時,,在上是增函數(shù);
②當,即時,有兩個正根,
所以,,單調(diào)遞增,
,,單調(diào)遞減
綜上,時,在上是增函數(shù),時,在和上是增函數(shù),在上是減函數(shù)
(2)令,
方程有兩個不相等的實根函數(shù)有兩個零點,
由
定義域為且
①當時,恒成立,在上單調(diào)遞增,則至多有一個零點,不符合題意;
②當時,得,
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
要使有兩個零點,則,由解得
此時
易知當時,
,
令,所以,
時,在為增函數(shù),
在為增函數(shù),,
所以,即
所以
函數(shù)在與各存在一個零點
綜上所述,.
∴證明證明時,成立
設,則
易知在上遞減,,在上單調(diào)遞減
,
所以.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在正四棱錐中,已知異面直線與所成的角為,給出下面三個命題:
:若,則此四棱錐的側(cè)面積為;
:若分別為的中點,則平面;
:若都在球的表面上,則球的表面積是四邊形面積的倍.
在下列命題中,為真命題的是( )
A. B. C. D.
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【題目】
對定義在區(qū)間上的函數(shù),若存在閉區(qū)間和常數(shù),使得對任意的都有,且對任意的都有恒成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的“U型”函數(shù)。
(1)求證:函數(shù)是上的“U型”函數(shù);
(2)設是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式對一切的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“U型”函數(shù),求實數(shù)和的值.
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【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點個數(shù),并說明理由;
若,證明:在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點;設為的極值點,為的零點且,求證:.
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【題目】第二屆中國國際進口博覽會于2019年11月5日至10日在上海國家會展中心舉行.它是中國政府堅定支持貿(mào)易自由化和經(jīng)濟全球化,主動向世界開放市場的重要舉措,有利于促進世界各國加強經(jīng)貿(mào)交流合作,促進全球貿(mào)易和世界經(jīng)濟增長,推動開放世界經(jīng)濟發(fā)展.某機構為了解人們對“進博會”的關注度是否與性別有關,隨機抽取了100名不同性別的人員(男、女各50名)進行問卷調(diào)查,并得到如下列聯(lián)表:
男性 | 女性 | 合計 | |
關注度極高 | 35 | 14 | 49 |
關注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合計 | 50 | 50 | 100 |
(1)根據(jù)列聯(lián)表,能否有99.9%的把握認為對“進博會”的關注度與性別有關;
(2)若從關注度極高的被調(diào)查者中按男女分層抽樣的方法抽取7人了解他們從事的職業(yè)情況,再從7人中任意選取2人談談關注“進博會”的原因,求這2人中至少有一名女性的概率.
附:.
參考數(shù)據(jù):
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)棱平面,為的中點,,,,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,求出點的位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國古代儒家要求學生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、御、書、數(shù),簡稱“六藝”,某高中學校為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進行了主題為“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六場傳統(tǒng)文化知識競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的最后角逐,規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分都分別為且;選手最后得分為各場得分之和,在六場比賽后,已知甲最后得分為分,乙和丙最后得分都是分,且乙在其中一場比賽中獲得第一名,下列說法正確的是( )
A. 乙有四場比賽獲得第三名
B. 每場比賽第一名得分為
C. 甲可能有一場比賽獲得第二名
D. 丙可能有一場比賽獲得第一名
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