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設函數．數列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數在區(qū)間是增函數；

（Ⅱ）用數學歸納法證明：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 Ⅰ）證明：，

故函數在區(qū)間(0,1)上是增函數；(4分)

（Ⅱ）證明：（用數學歸納法）（i）當n=1時，，，

      （6分）

由函數在區(qū)間是增函數，且函數在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數，，即成立；（6分）

（ⅱ）假設當時，成立，即

那么當時，由在區(qū)間是增函數，得

.而，則，

，也就是說當時，也成立；

根據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意的正整數，恒成立.  （12分）

（注：若解法不同，可參考此解法相應給分）。

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設函數．數列滿足，．

（Ⅰ）證明：函數在區(qū)間是增函數；

（Ⅱ）證明：；

（Ⅲ）設，整數．證明：．

 

 

 

 

 

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