Question

給出下列命題：
①如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函數(shù)f（x）必是偶函數(shù)；
②要得到函數(shù)y=sin（1-x）的圖象，只要將函數(shù)y=sin（-x）的圖象向右平移1個(gè)單位即可；
③如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=f（x-2）+1的圖象一定不能重合．其中真命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函數(shù)f（x）必是偶函數(shù)，由對(duì)稱性判斷；
②要得到函數(shù)y=sin（1-x）的圖象，只要將函數(shù)y=sin（-x）的圖象向右平移1個(gè)單位即可，由平移規(guī)則進(jìn)行判斷；
③如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷；
④函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=f（x-2）+1的圖象一定不能重合，有平移規(guī)則判斷．

解答：解：①如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函數(shù)f（x）必是偶函數(shù)，此命題中的條件說(shuō)明函數(shù)關(guān)于直線x=1對(duì)稱，不能得出偶函數(shù)的結(jié)論，故錯(cuò)誤；
②要得到函數(shù)y=sin（1-x）的圖象，只要將函數(shù)y=sin（-x）的圖象向右平移1個(gè)單位即可，由平移規(guī)則知，此命題是正確命題；
③如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的定義知，此命題是正確命題；
④函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=f（x-2）+1的圖象一定不能重合，存在一個(gè)函數(shù)右移兩個(gè)單位再產(chǎn)移一個(gè)單位可以重合，如y=

1

2

x，故此命題不正確．
綜上，②③是正解命題
故答案為②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，求解本題的關(guān)鍵是掌握住平移的規(guī)則以及函數(shù)的對(duì)稱性的，函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，圖象的變化等知識(shí)，本題是基礎(chǔ)知識(shí)基本概念題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，判斷時(shí)思維轉(zhuǎn)換快，易出錯(cuò)．