Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若向量

m

=（cosB，sinC），

n

=（cosC，-sinB），且

m

•

n

=

1

2

．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=2

3

，△ABC的面積S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算化簡

m

•

n

=

1

2

，再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（2）利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，將sinA及已知的面積代入求出bc的值，利用余弦定得到a²=b²+c²-2bccosA，將cosA的值代入，利用完全平方公式整理后，將a與bc的值代入即可求出b+c的值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=

1

2

，向量

m

=（cosB，sinC），

n

=（cosC，-sinB），
∴cosBcosC-sinBsinC=

1

2

，即cos（B+C）=

1

2

，
又cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA=

1

2

，
∴cosA=-

1

2

，
又A為三角形的內(nèi)角，
則A=

2π

3

；
（2）∵△ABC的面積S=

3

，sinA=sin

2π

3

=

3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，
∴bc=4，又a=2

3

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，
即12=（b+c）²-4，整理得：（b+c）²=16，
則b+c=4．

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，正弦、余弦定理，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．