Question

已知滿足不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，則實數(shù)p的值為（ ）
A．-2
B．8
C．-2或8
D．不能確定

Answer 1

【答案】分析：依題意，“3”是對應(yīng)方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一個解，代入得p=8或p=-2，再對p分類討論，對p=2可先待定p后驗證p．
解答：解：∵滿足不等式|x²-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，
∴“3”是不等式解的一個端點值，
∴“3”是對應(yīng)方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一個解，代入得p=8或p=-2．
若p=8，x²-4x+8=（x-2）²+4＞0，
∴|x²-4x+8|+|x-3|≤5?x²-4x+8+|x-3|≤5，
若x＞3，則x²-4x+8+x-3≤5，解得0≤x≤3，故x不存在；
若x≤3，則x²-4x+8+3-x≤5，解得2≤x≤3，
∴x的最大值為3，符合題意．
當p=-2時，不等式為|x²-4x-2|+|x-3|≤5，易知5是不等式的解，故不等式有大于3的解，不滿足題意．所以p=8．
綜上所述，p=8．
故選B．
點評：本題考查絕對值不等式的解法，由x的最大值為3注意到“3”是不等式解的一個端點值，利用不等式的性質(zhì)得“3”是對應(yīng)方程|x²-4x+p|+|x-3|=5的一個解，代入得p=8或p=-2是關(guān)鍵，也是亮點，先待定p后驗證p的解法是好辦法，屬于難題．