Question

（2013•南充一模）對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，定義y=f″（x）是函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)函數(shù)．若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)既有拐點(diǎn)，又有對稱中心，且拐點(diǎn)就是對稱中心．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，對于函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x+

1

12

+

1

x- 1 2

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)的值為

3018

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)拐點(diǎn)，再利用拐點(diǎn)的意義及中心對稱的性質(zhì)即可得出．

解答：解：令h（x）=

1

3

x3-

1

2

x2+3x+

1

12

，則h^′（x）=x²-x+3，h^″（x）=2x-1，
令h^″（x）=0，解得x=

1

2

，又h(

1

2

)=

3

2

，∴函數(shù)h（x）的拐點(diǎn)為(

1

2

，

3

2

)，即為函數(shù)h（x）的對稱中心．．
∴h(

1

2013

)+h(

2012

2013

)=2h(

1

2

)=3．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3×1006=3018．
設(shè)u（x）=

1

x- 1 2

，可知其圖象關(guān)于點(diǎn)(

1

2

，0)中心對稱．
∴u(

1

2013

)+u(

2012

2013

)=0=u(

2

2013

)+u(

2011

2013

)=…，
∴u(

1

2013

)+u(

2

2013

)+…+u(

2012

2013

)=0．
∴g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=3018．
故答案為3018．

點(diǎn)評：熟練掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及拐點(diǎn)的意義及中心對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．