如圖，已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD．
（1）求證：MN⊥AB；
（2）求二面角P-CD-A的大小；
（3）求三棱錐D-AMN的體積．

解：（1）∵PA⊥面ABCD，ABCD是矩形
∴∠PAC=∠PBC=90°…（2分）
又N為PC的中點，∴
∴AN=BN…（4分）
而M是AB的中點，∴MN⊥AB …（5分）
（2）由PD=AB=DC，N是PC的中點得：ND⊥PC，
又由面MND⊥面PCD得：PC⊥面MND
∴PC⊥MN∴MP=MC …（7分）
Rt△MPA≌Rt△MCB，
∴PA=BC=2
即PA=AD=2，∠PDA=45°，…（9分）
易知∠PDA為二面角P-CD-A的平面角
∴二面角P-CD-A的大小為45°…（10分）
（3）N到平面AMD的距離…（12分）
所以…（14分）
分析：（1）利用BCD是矩形，PA⊥平面ABCD，N是PC的中點，可得等腰三角形根據(jù)等腰三角形的性質可知MN⊥AB；
（2）先判斷∠PDA為二面角P-CD-A的平面角，再利用PA=2，PD=AB，且平面MND⊥平面PCD，即可求得二面角P-CD-A的大小；
（3）利用等體積轉化，利用VD-AMN=VN-AMD可求三棱錐D-AMN的體積．
點評：本題的考點是二面角的平面角及求法，主要考查面面垂直性質的運用，考查線線垂直，考查面面角，考查三棱錐的體積．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知ABCD是邊長為a的正方形，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，CG⊥面ABCD，CG=a．
（1）求證：BD∥EFG；
（2）求點B到面GEF的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知ABCD是底角為30°的等腰梯形，AD=2
3
，BC=4
3
，取兩腰中點M、N分別交對角線BD、AC于G、H，則
AG
•
AC
=（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知ABCD是邊長為1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，CE=λAF（λ＞1）．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且直線BE與平面ACE所成角的正弦值為
3
2
10
，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PB=2，PB與平面ABCD所成的角為30°，PB與平面PCD所成的角為45°，求：
（1）PB與CD所成角的大�。�
（2）二面角C-PB-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=FB=2DE．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直線EC與平面BCF所成的角；
（Ⅲ）問在EF上是否存在一點M，使三棱錐M-ACF是正三棱錐？若存在，試確定M點的位置；若不存在，說明理由．

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