Question

已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝alnx，a∈R．

(1)若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，當(dāng)h(x)存在最小之時(shí)，求其最小值(a)的解析式；

(3)對(duì)(2)中的(a)，證明：當(dāng)a∈(0，＋∞)時(shí)，(a)≤1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝，(x)＝(x＞0)， 　　由已知得解德a＝，x＝e2， 　　兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2，e)切線的斜率為k＝f’(e2)＝． 　　切線的方程為y－e＝(x－e2)． 　　當(dāng)a＞0時(shí)，令(x)＝0，解得x＝， 　　所以當(dāng)0＜x＜時(shí) (x)＜0，h(x)在(0，)上遞減； 　　當(dāng)x＞時(shí)，(x)＞0，h(x)在(0，)上遞增． 　　所以x＞是h(x)在(0，＋∞)上的唯一極致點(diǎn)，且是極小值點(diǎn)，從而也是h(x)的最小值點(diǎn)． 　　所以Φ(a)＝h()＝2a－aln＝2 　　(2)當(dāng)a≤0時(shí)，h(x)＝(1/2－2a)/2x＞0，h(x)在(0，＋∞)遞增，無最小值． 　　故h(x)的最小值Φ(a)的解析式為2a(1－ln2a)(a＞0) 　　(3)由(2)知Φ(a)＝2a(1－ln2a) 　　則Φ1(a)＝－2ln2a，令Φ1(a)＝0解得a＝1/2 　　當(dāng)0＜a＜1/2時(shí)，Φ1(a)＞0，所以Φ(a)在(0，1/2)上遞增 　　當(dāng)a＞1/2時(shí)，Φ1(a)＜0，所以Φ(a)在(1/2，＋∞)上遞減． 　　所以Φ(a)在(0，＋∞)處取得極大值Φ(1/2)＝1 　　因?yàn)?FONT FACE="Times New Roman">Φ(a)在(0，＋∞)上有且只有一個(gè)極致點(diǎn)，所以Φ(1/2)＝1也是Φ(a)的最大值 　　所當(dāng)a屬于(0，＋∞)時(shí)，總有Φ(a)≤1