Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a_n+1=2S_n+2（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{

1

dn

}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，證明T_n＜

15

16

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+1-a_n=2a_n，a₂=3a₁，a₂=2a₁+2，由此能求出a_n=2•3^n-1．
（2）由已知得dn=

4×3n-1

n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能證明T_n=

15

16

-

2n+n

16×3n-1

＜

15

16

．

解答： （1）解：∵a_n+1=2S_n+2（n∈N^*），∴a_n=2S_n-1+2（n∈N^*，n≥2），
兩式相減，得a_n+1-a_n=2a_n，
即a_n+1=3a_n，n≥2，
∵等比數(shù)列{a_n}，∴a₂=3a₁，
又a₂=2a₁+2，∴a₁=2，
∴a_n=2•3^n-1．
（2）證明：由（1）得an+1=2•3n，an=2•3n-1，
∵a_n+1=a_n+（n+1）d_n，
∴dn=

4×3n-1

n+1

，
∴T_n=

2

4×30

+

3

4×3

+

4

4×32

+…+

n+1

4×3n-1

，①

1

3

Tn=

2

4×3

+

3

4×32

+

4

4×33

+…+

n+1

4×3n

，②
①-②，得

2

3

Tn=

2

4×30

+

1

4×31

+

1

4×32

+…+

1

4×3n-1

-

n+1

4×3n

=

1

2

+

1

4

×

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n+1

4×3n

=

5

8

-

2n+5

8×3n

，
∴T_n=

15

16

-

2n+n

16×3n-1

＜

15

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．