Question

求函數(shù)f（x）=

2x+3

-

1

2x+5

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：法1：求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的單調(diào)的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
法2：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：要使函數(shù)f（x）有意義，則

2x+3≥0 2x+5≠0

，
解得x≥-

3

2

，
∴f（x）的定義域?yàn)?span id="lpldjvx" class="MathJye">[-

3

2

，+∞)，
任取x1，x2∈[-

3

2

，+∞)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2x1+3

-

1

2x1+5

-

2x2+3

+

1

2x2+5

=(

2x1+3

-

2x2+3

)+(

1

2x2+5

-

1

2x1+5

)=

2(x1-x2)

2x1+3 + 2x2+3

+

2(x1-x2)

(2x2+5)(2x1+5)

=2(x1-x2)(

1

2x1+3 + 2x2+3

+

1

(2x2+5)(2x1+5)

)＜0
即  f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函數(shù)，則f（x）的最小值為f(-

3

2

)=-

1

2

方法二：∵f（x）有意義時(shí)

2x+3≥0 2x+5≠0

?x≥-

3

2

，
∴f（x）的定義域?yàn)?span id="r00rfck" class="MathJye">[-

3

2

，+∞)
由于y=2x+3是遞增的，
∴y=

2x+3

也是遞增的；
而y=2x+5在寶義域內(nèi)是遞增的，從而y=

-1

2x+5

也是遞增的，
故函數(shù)f（x）在定義域[-

3

2

，+∞)上是遞增的
故當(dāng)x=-

3

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值f(x)min=-

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)最值的求解，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意要先求函數(shù)的定義域．