Question

（2012•包頭一模）在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2，AB=1．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積V；
（Ⅱ）若F為PC的中點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面AEF．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，故BC=

3

，AC=2，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積V．
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA⊥CD，由此能證明平面PAC⊥平面AEF．

解答：解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=

3

，AC=2…（2分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，CD=2

3

…（4分）
∵S四邊形ABCD=

1

2

AB•BC+

1

2

AC•CD=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×2

3

=

5

2

3

，
則V=

1

3

×

5

2

3

×2=

5

3

3

…（6分）
證：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD…（7分）
又AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，…（8分）
∵E、F分別是PD、PC的中點(diǎn)，∴EF∥CD
∴EF⊥平面PAC…（10分），
∵EF?平面AEF，
∴平面PAC⊥平面AEF…（12分）

點(diǎn)評：本題考查棱錐的體積的求法，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化立體問題為平面問題．