Question

如圖，E、F分別為直角三角形ABC的直角邊AC和斜邊AB的中點，沿EF將△AEF折起到△A′EF的位置，連接A′B、A′C，P為A′C的中點．
（1）求證：EP∥平面A′FB；
（2）求證：平面A′EC⊥平面A′BC；
（3）求證：AA′⊥平面A′BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EP∥平面A′FB關(guān)鍵在平面A′FB內(nèi)找一直線與EP平行，由E、P分別為AC、A′C的中點，可得EP平行與面A′FB內(nèi)一直線A′A；
（2）欲證平面A′EC⊥平面A′BC，即證BC⊥平面A′EC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知一平面經(jīng)過另一平面的垂線則這兩個面垂直；
（3）欲證AA′⊥平面A′BC，即證AA′垂直平面A′BC內(nèi)兩條相交直線，易證A′A⊥A′C，BC⊥AA′．
解答：證明：（1）
∵E、P分別為AC、A′C的中點，
∴EP∥A′A，又A′A?平面AA′B，EP?平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB；
（2）∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，而AE與EC相交∴BC⊥平面A′EC
BC?平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC；
（3）在△A′EC中，P為A′C的中點，∴EP⊥A′C，
在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C
由（2）知：BC⊥平面A′EC又A′A?平面A′EC
∴BC⊥AA′
∴A′A⊥平面A′BC．
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．