Question

已知M（a，b），N（sinωx，cosωx）（ω＞0），記f（x）=

OM

•

ON

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若f（x）的最小正周期為2，并且當(dāng)x=

1

3

時(shí)，f（x）的最大值為5．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）對任意的整數(shù)n，在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)是否存在曲線y=f（x）的對稱軸？若存在，求出此對稱軸方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由內(nèi)積公式求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式再逆用和差角公式化簡，據(jù)周期為2與函數(shù)過點(diǎn)（

1

3

，5）求參數(shù)．
（2）解出對稱軸的方程，看其形式是不是可以表示成一個(gè)整數(shù)加上一個(gè)大于零且小于1的數(shù)．若是則存在，若否，則不存在．求解發(fā)現(xiàn)，本題結(jié)論是存在．

解答：解：（1）由題設(shè)條件知f（x）=asinωx+bcosωx=5sin（ωx+φ），
由已知得

2π ω =2 f( 1 3 )=5

，得ω=π，φ=

π

6

，
所以f（x）=5sin（πx+

π

6

），．
（2）曲線f（x） 有對稱軸x=x₀的充要條件是5sin（πx₀+

π

6

）=±5．即πx₀+

π

6

=kπ+

π

2

即x₀=k+

1

3

，k∈Z，
令n＜k+

1

3

＜n+1 得k=n （n∈Z），
所以在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)存在曲線f（x）的對稱軸，
其方程是x=n+

1

3

，n∈Z，

點(diǎn)評：本題考查用向量的數(shù)量積公式變形得到函數(shù)的表達(dá)式，然后再利用和差角公式變形，根據(jù)題目條件求出參數(shù)得到函數(shù)的表達(dá)式，本題綜合性較強(qiáng)．