Question

如圖，在底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
（Ⅰ） 求證：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）若D₁D=BD，求四棱錐D-A₁BCD₁的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由D₁D⊥平面ABCD，可證 D₁D⊥AD．△CBD 中，勾股定理可得 CB⊥BD，由線面垂直的判定定理可證A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，再由平面與平面垂直的判定定理可證平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，四棱錐D-A₁BCD₁的體積轉(zhuǎn)化為兩個三棱錐的體積求解即可．

解答：證明：（Ⅰ）因為底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
所以BC=1，∠DBC=90°，可得AD⊥BD，
因為幾何體是四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以A₁D₁⊥B₁D₁，
又D₁D⊥底面ABCD，所以AD⊥D₁D，可得A₁B₁⊥D₁D，
又B₁D₁∩D₁D=D₁，
所以A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，A₁D₁?平面A₁BCD₁，
∴平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中A₁D₁⊥平面BDD₁B₁，四棱錐D-A₁BCD₁的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A1-DD₁B與C-DD₁B的體積的和，而且兩個體積相等，
∵AD=1，CD=2，∠DCB=60°．所以BD=

3

，D₁D=BD=

3

，
∴VA1-DD1C=

1

3

S△DD1C•AD=

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×1=

1

2

．
所以是棱錐的體積為2×

1

2

=1．

點評：本題考查平面與平面垂直的判定定理，直線與平面垂直的判定定理，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想與計算能力．