Question

如圖，第一個圖是正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得第2個圖，將第2個圖中的每一條邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得第3個圖，如此重復(fù)操作至第n個圖，用a_n表示第n個圖形的邊數(shù)，則數(shù)列a_n的前n項和S_n等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)圖形得到，a₁=3，a₂=12，a₃=48，由題意知：每一條邊經(jīng)一次變化后總變成四條邊，即

an

an-1

=4(n＞2)，由等比數(shù)列的定義知：a_n=3×4^n-1，于是根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式即可求解

解答：解：∵a₁=3，a₂=12，a₃=48
由題意知：每一條邊經(jīng)一次變化后總變成四條邊，即

an

an-1

=4(n＞2)，
由等比數(shù)列的定義知：a_n=3×4^n-1
∴S_n=

3×(1-4n)

1-4

=4ⁿ-1
故答案為：4ⁿ-1

點評：本題考查了等比數(shù)列的前n項和，還考查對圖形的閱讀能力，屬于基礎(chǔ)題．