Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x²+bx+c(a,b,c∈R)，函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)記為f′(x).

(1)若a=f′(2),b=f′(1),c=f′(0)，求a,b,c的值；

(2)在(1)的條件下，有F(n)=，求證：F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜(n∈N^*)；

(3)設(shè)關(guān)于x的方程f′(x)=0的兩個實數(shù)根為a,β，且1＜α＜β＜2，試問：是否存在正整數(shù)n₀，使得|f′(n₀)|≤？請說明理由.

Answer 1

答案：(1)解：由題意有a=f′(2)=2²+2a+b，b=f′(1)=1²+a+b，c=f′(0)=b.解得a=-1,b=-3,c=-3.3分

(2)證明：由已知有f′(n)=n²-n-3，F(xiàn)(n)=.

當(dāng)n=1時，F(xiàn)(1)=-1＜；當(dāng)n=2時，F(xiàn)(1)+F(2)=-1+1=0＜；當(dāng)n≥3時，F(xiàn)(n)=＜=.

∴F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜F(1)+F(2)+×［(1)+()+()+…+()］=×(1+)=(1+)()=(++)＜.

∴F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)＜(n∈N^*).                                         

(3)解：∵f′(x)=(x-α)(x-β),

∴f′(1)·f′(2)=(1-α)(1-β)(2-α)(2-β)

=(α-1)(2-α)(β-1)(2-β)≤［］²·［］²=.

∴0＜f′(1)≤或0＜f′(2)≤.

故存在n₀=1或n₀=2，使得|f′(n₀)|≤.