Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax-lnx-1
（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=3代入求出其導(dǎo)函數(shù)，找到導(dǎo)數(shù)大于0，以及小于0對應(yīng)的區(qū)間即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意是在定義域內(nèi)找）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′(x)=-2x+a-

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立；即-2x+a-

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立，再利用函數(shù)的單調(diào)性求出不等式左邊的最小值即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=-2x+a-

1

x

a=3時，f′(x)=-2x+3-

1

x

=-

2x2-3x+1

x

；
2x2-3x+1＞0，解得x＞1或x＜

1

2

，
函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
在區(qū)間（0，

1

2

），（1，+∞）上f′（x）＜0．函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
在區(qū)間（

1

2

，1）上f′（x）＞0．函數(shù)f（x）為增函數(shù)．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，
則f′(x)=-2x+a-

1

x

≤0，在x∈（2，4）上恒成立．
∵-2x+a-

1

x

≤0?2x+

1

x

≥a在x∈(2，4)上恒成立．
易知函數(shù)g(x)=2x+

1

x

在(2，4)上為增函數(shù)．
∴g(x)＞2•2+

1

2

=

9

2

．
實數(shù)a的取值范圍a∈(-∞，

9

2

]．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問題，是函數(shù)這一章最基本的知識，也是．教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生應(yīng)熟練掌握．