Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)．
（1）求k的值，并證明當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）已知，函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，試問是否存在正整數(shù)λ，使得f（2x）≥λ•f（x）對恒成立？若存在，請求出所有的正整數(shù)λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，得k=1．
此時(shí)，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函數(shù)．
設(shè)x₂＞x₁，則f（x₂）-f（x₁）=--（）=（）（1+），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴＞，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)．
（2）∵f（1）=，∴a-=，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上為增函數(shù)，∴t∈[]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
當(dāng)t=時(shí)，g（x）有最大值，當(dāng)t=2時(shí)，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù)λ，則（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x），
①當(dāng)x=0時(shí)，λ∈R；
②當(dāng)x時(shí)，4^x-4^-x＞0，則λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，則μ∈（1，2]，易證z=在（1，2]上是增函數(shù)，
則λ≤z（1）=2；
③當(dāng)x時(shí)，4^x-4^-x＜0，則，
令μ=4^x，則，易證z=在[，1）上是減函數(shù)，
所以λ≥z（）=，
綜上所述，知不存在正整數(shù)λ滿足題意．
分析：（1）由f（x）為R上的奇函數(shù)可得f（0）=0，解得k值，然后進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)增函數(shù)的定義即可證明其單調(diào)性；
（2）由f（1）=可求得a值，則g（x）=）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），由此g（x）可化為關(guān)于t的二次函數(shù)，求出t的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得g（x）的最小值、最大值，從而得其值域；
（3）按照x=0，0＜x，-x＜0三種情況，分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解出λ相應(yīng)范圍，最后取其交集即可；
點(diǎn)評：本題是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查的一般出題形式是解不等式的題，解題方法是先利用奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解不等式．