Question

已知x軸上的兩點(diǎn)A，B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P(-1，

2

2

)在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M線段PB的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，且

ED

=2

DF

，求直線EF的方程．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)P(-1，

2

2

)在橢圓上，線段PB與y軸的交點(diǎn)M線段PB的中點(diǎn)，列出橢圓的三個(gè)參數(shù)a，b，c的關(guān)系，通過解方程組求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于y的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件中的向量關(guān)系找到有關(guān)直線方程中的待定系數(shù)滿足的等式，解方程求出直線的方程

解答：解：（1）∵線段PB與y軸的交點(diǎn)M線段PB的中點(diǎn)，
∴OM是△PAB的中位線
∵OM⊥AB，∴PA⊥AB
∵點(diǎn)P(-1，

2

2

)在橢圓上，∴

c=1 1 a2 + 1 2b2 =1 a2=b2+c2

∴a²=2，b²=1，c²=1
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

2

+y2=1；
（2）設(shè)EF：x=my-1（m＞0），代入橢圓方程得（m²+2）y²-2my-1=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由

ED

=2

DF

，得y₁=-2y₂．
由y₁+y₂=-y₂=

2m

m2+2

，y₁y₂=-2y₂²=

-1

m2+2

得2（-

2m

m2+2

）²=

1

m2+2

，
∴m=

14

7

，m=-

14

7

（舍去），
直線EF的方程為：x=

14

7

y-1，即7x-

14

y+7=0．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用．解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系找突破口．