設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為數(shù)學(xué)公式，求a的值．

解：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，定義域?yàn)椋?，2）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=-+1，
當(dāng)f′（x）＞0，即0＜x＜時(shí)，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)f′（x）＜0，＜x＜2時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，），單調(diào)減區(qū)間為（，2）
（2）函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）．
，＞0，所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，（0，1]為單調(diào)遞增區(qū)間．
最大值在右端點(diǎn)取到．
所以a=．
分析：（1）已知a=1，f′（x）=-+1，求解f（x）的單調(diào)區(qū)間，只需令f′（x）＞0解出單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0解出單調(diào)減區(qū)間．
（2）區(qū)間（0，1]上的最值問題，通過導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)和端點(diǎn)的比較得到，確定待定量a的值．
點(diǎn)評(píng)：考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)最值等知識(shí)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2
（I）若當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；
（II）若f（x）存在極值，求a的取值范圍，并證明所有極值之和大于ln
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-
2x
x+2
，證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；
（Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為P．證明：P＜(
9
10
)19＜
1
e2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•楊浦區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x2-x-6）的定義域?yàn)榧螦，集合B={x|
5x+1
＞1}．請(qǐng)你寫出一個(gè)一元二次不等式，使它的解集為A∩B，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+x2(a＞
2
)，
（1）若a=
3
2
，解關(guān)于x不等式f(e
x
-
3
2
)＜ln2+
1
4
；
（2）證明：關(guān)于x的方程2x2+2ax+1=0有兩相異解，且f（m）和f（n）分別是函數(shù)f（x）的極小值和極大值（m，n為該方程兩根，且m＞n）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+a）+2x2．
（1）若當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，方程ln（x+a）+2x2-m=0恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解不等式f（2x-1）＜lna．

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