Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=

1 |x-1| ，x≠1 1，x=1.

若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃=

3

．

Answer 1

分析：由函數(shù)的解析式易知f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)．從而得出f²（x）+bf（x）+c=0必有一根使f（x）=1，不妨設(shè)為x₁，而x₂，x₃關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，于是求得x₁+x₂+x₃的值．

解答：解：易知f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)
對(duì)于方程f²（x）+bf（x）+c=0，是一個(gè)關(guān)于f（x）的一元二次方程，若此一元二次方程僅有一根，則必有
f（x）=1，此時(shí)x₁，x₂，x₃三個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1，另兩個(gè)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)有 x₁+x₂+x₃=3
若關(guān)于f（x）的一元二次方程f²（x）+bf（x）+c=0有兩個(gè)根，則必有f（x）=1與f（x）=m≠1
此時(shí)f（x）=1的根為1，f（x）=m≠1有兩根，且此兩根關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，此時(shí)有x₁+x₂+x₃=3
綜上知x₁+x₂+x₃=3
故答案為3．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷．