Question

17．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD，AD⊥DC，∠BCD=45°．
（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為M，求證：AM∥平面PBC；
（2）求PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）設(shè)DC=a，求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）而$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），所以$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{n}$=0，即$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{n}$，即可證得AM∥平面PBC；
（2）求出$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-2），利用向量夾角公式，即可求得PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）由（1）平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，a，0），利用向量數(shù)量積公式，即可求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=CD=2AD=2，BC=$\sqrt{2}$a，則A（1，0，0），B（a，2-a，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，0，1）．    
設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{ax+y（2-a）-2z=0}\\{2y-2z=0}\end{array}\right.$
令z=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
而$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），所以$\overrightarrow{AM}$$•\overrightarrow{n}$=0，即$\overrightarrow{AM}$⊥$\overrightarrow{n}$，
又AM?平面PBC，
故AM∥平面PBC；．…（9分）
（2）解：$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-2），設(shè)PA與平面PBC所成角為α，
由直線與平面所成角的向量公式有sinα=$\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（3）解：由（1）平面PBC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，a，0），
∴點(diǎn)D到平面PBC的距離=$\frac{a}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行，考查線面角，點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面的法向量，屬于中檔題．