已知P是圓上任意一點，點N的坐標為（2，0），線段NP的垂直平分線交直線MP于點Q，當點P在圓M上運動時，點Q的軌跡為C.
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當時，在x軸上是否存在一定點E，使得對曲線C的任意一條過E的弦AB，為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由.

（1）以，為焦點的橢圓；（2）定值6，定點E．設經(jīng)過點的直線方程，代入

解析試題分析：（1）利用線段的垂直平分線交直線于點，當時，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡的方程；（2）當時，軌跡必為橢圓方程，設，分別過E取兩垂直與坐標軸的兩條弦CD，，根據(jù)求出E若存在必為定值為6．再進行證明．存在性問題，先猜后證是關鍵.再設設過點E的直線方程，代入橢圓方程，消去，設，，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系，求得為定值6.
（1）由題意，，所以，
所以軌跡是以、為焦點，以為長軸的橢圓，
其方程為.（4分）
（2）由（1）當時，曲線C為，
設，分別過E取兩垂直與坐標軸的兩條弦CD，，
則，即
解得，所以E若存在必為定值為6．  （6分）
下證滿足題意.
設過點E的直線方程為，代入C中得：
,設，
則     （8分）


     （13分）
同理可得E也滿足題意.
綜上得定點為E，定值為（14分）
考點：直線和圓的方程的應用，圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程，軌跡方程的問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經(jīng)過點，且兩焦點與短軸的兩個端點的連線構成一正方形.（12分）
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，若線段的垂直平分線經(jīng)過點，求
（為原點）面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過原點的直線與橢圓交于兩點（不是橢圓的頂點）.點在橢圓上，且，直線與軸、軸分別交于兩點.
（i）設直線的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值；
（ii）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓（）的左、右焦點為，右頂點為，上頂點為．已知．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設為橢圓上異于其頂點的一點，以線段為直徑的圓經(jīng)過點，經(jīng)過原點的直線與該圓相切，求直線的斜率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,設有雙曲線,F1,F2是其兩個焦點,點M在雙曲線上．
(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面積;
(2)若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面積是多少?若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面積又是多少?
(3)觀察以上計算結果,你能看出隨∠F1MF2的變化,△F1MF2的面積將怎樣變化嗎?試證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的左右頂點分別為，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點為曲線:上任一點（點不同于），直線與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點在x軸上，左右頂點分別為，上頂點為B，拋物線分別以A,B為焦點，其頂點均為坐標原點O，與相交于 直線上一點P．
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點M,N，已知點，求的最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（12分）（2011•陜西）設橢圓C：過點（0，4），離心率為
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A、A′兩點，|AA′|=4．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P、P′，過P、P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP'Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．

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