Question

已知數(shù)列b_n前n項(xiàng)和．?dāng)?shù)列a_n滿足（n∈N^*），數(shù)列c_n滿足c_n=a_nb_n．
（1）求數(shù)列a_n和數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列c_n的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用b_n=S_n-S_n-1求出數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式，然后利用求出數(shù)列a_n通項(xiàng)公式；
（2）利用c_n=a_nb_n．求出數(shù)列c_n的通項(xiàng)公式，寫出前n項(xiàng)和T_n的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，求出前n項(xiàng)和T_n．
（3）求出數(shù)列c_n的最大值，利用，求出m的取值范圍．
解答：解：（1）由已知和得，當(dāng)n≥2時(shí)，（2分）
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故數(shù)列b_n的通項(xiàng)公式b_n=3n-2．（3分）
又∵，∴，
故數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式為，（5分）
（2），，①，②
①-②得 ==，
∴． （10分）
（3）∵，
∴=，
當(dāng)n=1時(shí)，c_n+1=c_n；當(dāng)n≥2時(shí)，c_n+1≤c_n，∴．
若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立，則即可，
∴m²+4m-5≥0，即m≤-5或m≥1． （14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查計(jì)算能力、推理論證能力、綜合發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力．