Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE,因此BE⊥平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

 

 

解: （Ⅱ）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因?yàn)椤螧AF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.在等腰Rt△PAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.

則AG⊥PF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

【解析】略