Question

13．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4
（1）若平面上有兩點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求使|AP|²+|BP|²取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QM，QN分別切圓C于M，N兩點(diǎn)，①若$|{MN}|=2\sqrt{3}$，求直線QC的方程；②求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式，得到|AP|²+|BP|²的表達(dá)式，即可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）①確定|QN|=|QM|，△QMN為等邊三角形，即可求直線QC的方程；
②x²+y²-（a+3）x-4y+3a=0與圓C：x²+y²-6x-8y+21=0聯(lián)立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），由兩點(diǎn)間的距離公式知：|AP|²+|BP|²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2．
又P為圓上的點(diǎn)，所以${|{OP}|_{min}}=|{OC}|-r=\sqrt{{3^2}+{4^2}}-2=3$，∴（|AP|²+|BP|²）_min=20
此時(shí)直線$OC：y=\frac{4}{3}x$，由題意得：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{3}x\\{（{x-3}）^2}+{（{y-4}）^2}=4\end{array}\right.$，∴P的坐標(biāo)為$（{\frac{9}{5}，\frac{12}{5}}）$；
（2）①設(shè)Q（x，0），因?yàn)閳AC的半徑r=2，而$|{MN}|=2\sqrt{3}$，
則$∠MCN=\frac{2π}{3}$，$∠MQN=\frac{π}{3}$
而|QN|=|QM|，△QMN為等邊三角形．
∴|QC|²=|QN|²+|CN|²=16，∴|QC|=4，所求直線QC的方程：x=3
②$∠CNQ=∠CMQ=\frac{π}{2}$，則M，N在以QC為直徑的圓上
設(shè)Q（a，0），則以QC為直徑的圓的方程：${（{x-\frac{a-3}{2}}）^2}+{（{y-2}）^2}=\frac{{{{（{a-2}）}^2}+16}}{4}$
即x²+y²-（a+3）x-4y+3a=0與圓C：x²+y²-6x-8y+21=0聯(lián)立得：-a（x-3）+3x+4y-21=0，
故無(wú)論a取何值時(shí)，直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（3，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程的綜合應(yīng)用，和平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，考查圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．