Question

已知全集U=R，非空集合A={x|＜0}，B={x|＜0}．
（Ⅰ）當(dāng)a=時(shí)，求（∁_UB∩A）；
（Ⅱ）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若q是p的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出集合A、B，再求出C_U^B，借助數(shù)軸求出，（C_U^B）∩A．
（Ⅱ）由題意知，p⇒q，可知A⊆B，B={x|a＜x＜a²+2}．對(duì)于集合A，其解集的端點(diǎn)是 3a+1和2，大小有三種情況，在每種情況下，求出集合A，借助數(shù)軸列出A⊆B時(shí)區(qū)間端點(diǎn)間的大小關(guān)系，解不等式組求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，（2分）
C_U^B=，（C_U^B）∩A=．（4分）
（Ⅱ）由q是p的必要條件，即p⇒q，可知A⊆B．（6分）
由a²+2＞a，得 B={x|a＜x＜a²+2}．（8分）
①當(dāng)3a+1＞2，即時(shí)，A={x|2＜x＜3a+1}，再由 ，解得 ．
②當(dāng)3a+1=2，即a=時(shí)，A=∅，不符合題意；
③當(dāng)3a+1＜2，即時(shí)，A={x|3a+1＜x＜2}，再由 ，解得 ．
綜上，∪．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查2個(gè)集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算方法以及A⊆B時(shí)2個(gè)區(qū)間端點(diǎn)之間的大小關(guān)系（借助數(shù)軸列出不等關(guān)系），
體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想．