Question

已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A（0，0），B（m，m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，求x+y+z的取值范圍；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷三角形ABC的形狀，求出三角形的面積表達(dá)式，推出x+y+z的表達(dá)式，P是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，推出 x，y，z的約束條件，通過線性規(guī)劃求出x+y+z的取值范圍；
（2）通過m＞0，求出cosA=，利用余弦定理以及基本不等式，求出b+c的范圍，然后求出三角形的周長(zhǎng)的最大值．
當(dāng)m＜0時(shí)，利用三角形是鈍角三角形，通過AB＜BC，AC＜BC，推出三角形的周長(zhǎng)小于m＞0時(shí)三角形的周長(zhǎng)的最大值，得到結(jié)論．
解答：解：（1）AB=3，Ac=5，BC=4；△ABC 是直角三角形     …（2分）
  2S_△ABC=3x+4y+5z=12⇒   …（4分）

設(shè)t=2x+y，因?yàn)镻是△ABC（含邊界）內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊 AB、BC、AC的距離分別為x，y和z，
所以   由線性規(guī)劃得0≤t≤8
∴                                         …（8分）
注：3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z得到可得（5分），若給出了等號(hào)成立條件可全分．
（2）當(dāng)m＞0時(shí)
由B（m，m），得tanA=，∴cosA=；             …（10分）
△ABC中，由余弦定理有：
25=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-bc≥（b+c）²；當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，所以b+c≤
所以，三角形的周長(zhǎng)最大值為5+                                       …（14分）
當(dāng)m＜0時(shí)，∠BAC為鈍角，AB＜BC，AC＜BC，AB+BC+AC＜15＜5+
綜上所述，△ABC周長(zhǎng)的最大值為5+．                   …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題是解三角形中的難題，考查三角形的形狀的判斷，余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，線性規(guī)劃的應(yīng)用，分類討論思想以及計(jì)算能力．