Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：an+1=2an+2n+2，a1=2，
（1）求證數(shù)列{

an

2n

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n；
（3）令

1

bn-1

=

an

2n

，Tn為數(shù)列{b_n}的前n項的積，求證：Tn＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）在等式a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺²的兩邊同除以2ⁿ，利用等差數(shù)列的定義得到證明，
（2）利用對稱數(shù)列的通項公式求出

an

2n

，進一步求出數(shù)列{a_n}的通項公式．由于通項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積構成的新數(shù)列，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．
（3））由于

1

bn-1

=

an

2n

=2n-1，可得bn=

2n

2n-1

．利用放縮法即可證得結論．

解答：解：（1）an+1=2an+2n+2⇒

an+1

2n+1

=

an

2n

+2，
∴{

an

2n

}是公差為2，首項為

a1

2

=1的等差數(shù)列
（2）由（1）知：

an

2n

=2n-1，∴an=(2n-1)•2n，
故Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n①
①×2得：2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1②
②-①得：Sn=-2-23-24-…-2n+1+(2n-1)•2n+1
∴Sn=6+(2n-3)•2n+1
（3）∵

1

bn-1

=

an

2n

=2n-1
∴bn=

2n

2n-1

∵（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1）
∴

2n

2n-1

＞

2n+1

2n

∴(

2n

2n-1

)2＞

2n

2n-1

•

2n+1

2n

=

2n+1

2n-1

∴bn=

2n

2n-1

＞

2n+1 2n-1

，
∴Tn=b1b1•…•bn＞

3 1 • 5 3 • 7 5 •…• 2n+1 2n-1

=

2n+1

．

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等差數(shù)列，求解數(shù)列的通項公式，錯位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和方法中的重點與難點，要注意掌握．求數(shù)列的前n項和，一般先求出數(shù)列的通項，然后選擇合適的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂相消法、分組法．