Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=-x²+2bx-4，若對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂） 恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求f′（x），在函數(shù)定義域內(nèi)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可．
（Ⅱ）由題意不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，可轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥g（x）_max，或分離出參數(shù)后再求函數(shù)最值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=lnx-x+-1的定義域是（0，+∞）．
f′（x）==，
由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，3）；單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），（3，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈（0，2）時，，
對任意x₁∈（0，2），x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥g（x₂）恒成立，
問題等價(jià)于-≥g（x）對任意x∈[1，2]恒成立，即恒成立．
不等式可變?yōu)閎，
因?yàn)閤∈[1，2]，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=時取等號．
所以b，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍是（]．
點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)最值問題．恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題或分離參數(shù)后再求最值．