Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（Ⅱ） 證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)．

Answer 1

解：（Ⅰ）令分母x-1≠0解得x≠1，故定義域?yàn)閧x|x≠1}
∵，由于x-1≠0，
故
故 ，
∴的值域是（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）證明：在（1，+∞）上任取兩個(gè)值x₁，x₂且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=（ ）-（ ）
=
∵1＜x₁＜x₂
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
分析：（Ⅰ）求f（x）的定義域可令分母x-1≠0求解；根據(jù)函數(shù)的定義域即可求得函數(shù)的值域；
（Ⅱ）要用函數(shù)的單調(diào)性的定義來(lái)證明函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，首先取兩個(gè)具有大小關(guān)系的變量，利用這兩個(gè)自變量的函數(shù)值相減，把最后結(jié)果整理成因式乘積的形式，判斷差和0的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)的定義域與值域的求法，求解此類(lèi)題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)性質(zhì)的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬中檔題．