Question

甲、乙兩人定點(diǎn)投籃3次，記投籃投中的次數(shù)為ξ；乙投籃2次，記投籃投中的次數(shù)為η．甲、乙兩人每次投籃命中的概率甲投都是：

1

2

，
（1）求Eξ和Dξ；
（2）規(guī)定：若ξ＞η，則甲獲勝；若ξ＜η，則乙獲勝，分別求出甲、乙獲勝的概率．

Answer 1

分析：（1）甲投籃符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故投籃投中的次數(shù)為ξ服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布知識(shí)直接求Eξ和Dξ即可；
（2）甲獲勝有以下情況：ζ=1，η=0；ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2．每種情況互斥，分別求概率再求和即可．
乙獲勝有以下情況：η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1．每種情況互斥，分別求概率再求和即可．

解答：解：（1）依題ξ～B(3，

1

2

)，∴Eξ=3×

1

2

=

3

2

，Dξ=3×

1

2

×

1

2

=

3

4

．
（2）P（ξ=0）=C₃⁰•（

1

2

）³=

1

8

，
P（ξ=1）=C₃¹•（

1

2

）³=

3

8

，
P（ξ=2）=C₃²•（

1

2

）³=

3

8

，
P（ξ=3）=C₃³•（

1

2

）³=

1

8

，
P（η=0）=C₂⁰•（

1

2

）²=

1

4

，
P（η=1）=C₂¹•（

1

2

）²=

1

2

，
P（η=2）=C₂²•（

1

2

）²=

1

4

甲獲勝有以下情況：ζ=1，η=0，ζ=2，η=0，1；ζ=3，η=0，1，2．
則甲獲勝的概率為：
P₁=

3

8

×

1

4

+（

1

4

+

1

2

）+

1

8

×（

1

4

+

1

2

+

1

4

）=

1

2

乙獲勝有以下情況：η=1，ζ=0；η=2，ζ=0，1．
則乙獲勝的概率為：
P₂=

1

2

×

1

8

+

1

4

×（

1

8

+

3

8

）=

3

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率、二項(xiàng)分布等知識(shí)，考查利用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．