(2013•上海)給定常數(shù)c>0,定義函數(shù)f(x)=2|x+c+4|-|x+c|.?dāng)?shù)列a1,a2,a3,…滿足an+1=f(an),n∈N*
(1)若a1=-c-2,求a2及a3;
(2)求證:對(duì)任意n∈N*,an+1-an≥c;
(3)是否存在a1,使得a1,a2,…,an,…成等差數(shù)列?若存在,求出所有這樣的a1;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)對(duì)于分別取n=1,2,an+1=f(an),n∈N*.去掉絕對(duì)值符合即可得出;
(2)由已知可得f(x)=
x+c+8,x≥-c
3x+3c+8,-c-4≤x<-c
-x-c-8,x<-c-4
,分三種情況討論即可證明;
(3)由(2)及c>0,得an+1≥an,即{an}為無(wú)窮遞增數(shù)列.分以下三種情況討論:當(dāng)a1<-c-4時(shí),當(dāng)-c-4≤a1<-c時(shí),當(dāng)a1≥-c時(shí).即可得出a1的取值范圍.
解答:解:(1)a2=f(a1)=f(-c-2)=2|-c-2+c+4|-|-c-2+c|=4-2=2,
a3=f(a2)=f(2)=2|2+c+4|-|2+c|=2(6+c)-(c+2)=10+c.
(2)由已知可得f(x)=
x+c+8,x≥-c
3x+3c+8,-c-4≤x<-c
-x-c-8,x<-c-4

當(dāng)an≥-c時(shí),an+1-an=c+8>c;
當(dāng)-c-4≤an<-c時(shí),an+1-an=2an+3c+8≥2(-c-4)+3c+8=c;
當(dāng)an<-c-4時(shí),an+1-an=-2an-c-8>-2(-c-4)-c-8=c.
∴對(duì)任意n∈N*,an+1-an≥c;
(3)由(2)及c>0,得an+1≥an,即{an}為無(wú)窮遞增數(shù)列.
又{an}為等差數(shù)列,所以存在正數(shù)M,當(dāng)n>M時(shí),an≥-c,從而an+1=f(an)=an+c+8,由于{an}為等差數(shù)列,
因此公差d=c+8.
①當(dāng)a1<-c-4時(shí),則a2=f(a1)=-a1-c-8,
又a2=a1+d=a1+c+8,故-a1-c-8=a1+c+8,即a1=-c-8,從而a2=0,
當(dāng)n≥2時(shí),由于{an}為遞增數(shù)列,故an≥a2=0>-c,
∴an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故當(dāng)a1=-c-8時(shí),{an}為無(wú)窮等差數(shù)列,符合要求;
②若-c-4≤a1<-c,則a2=f(a1)=3a1+3c+8,又a2=a1+d=a1+c+8,∴3a1+3c+8=a1+c+8,得a1=-c,應(yīng)舍去;
③若a1≥-c,則由an≥a1得到an+1=f(an)=an+c+8,從而{an}為無(wú)窮等差數(shù)列,符合要求.
綜上可知:a1的取值范圍為{-c-8}∪[-c,+∞).
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了分類討論的思方法、如何絕對(duì)值符號(hào)、遞增數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)與方法,考查了推理能力和計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•涼山州二模)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),點(diǎn)A(x,y)實(shí)施變換f后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'(y,x),給出以下命題:
①圓x2+y2=r2(r≠0)上任意一點(diǎn)實(shí)施變換f后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓x2+y2=r2
②若直線y=kx+b上海一點(diǎn)實(shí)施變換f后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是y=kx+b,則k=-1;
③橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
每一點(diǎn),實(shí)施變換f后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓;
④曲線C;y=1nx-x(x>0)上每一點(diǎn)實(shí)施變換f后,對(duì)應(yīng)點(diǎn)軌跡足曲線C',M是曲線C上任意一點(diǎn),N是曲線C'上任意一點(diǎn),則|MN|的最小值為
2
(1+ln2)

以上正確命題的序號(hào)是
①③④
①③④
 (寫(xiě)出全部正確命題的序號(hào))

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案