Question

11．已知圓C：x²+y²-4x+3=0，
（1）求過M（3，2）點(diǎn)的圓的切線方程；
（2）直線l：2mx+2y-1-3m=0被圓C截得的弦長最短時，求直線l的方程；
（3）過原點(diǎn)的直線m與圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為C₁，直線$y=k（x-\frac{5}{2}）$與曲線C₁只有一個交點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心和半徑，易得點(diǎn)A在圓外，當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x=3．當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線的斜率為k，寫出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出k，可得切線方程；
（2）當(dāng)直線l⊥CN時，弦長最短，可求直線l的方程；
（3）求出軌跡C₁，利用直線$y=k（x-\frac{5}{2}）$與曲線C₁只有一個交點(diǎn)，求k的值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²-4x+3=0，即 （x-2）²+y²=1，表示以（2，0）為圓心，半徑等于1的圓．
當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x=3符合題意．
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為 y-2=k（x-3），即kx-y-3k+2=0，
所以，圓心到切線的距離等于半徑，即$\frac{|-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，此時，切線為3x-4y-1=0．
綜上可得，圓的切線方程為x=3或3x-4y-1=0…（3分）
（2）直線l：2mx+2y-1-3m=0恒過定點(diǎn)$N（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$
當(dāng)直線l⊥CN時，弦長最短，此時直線的方程為x-y-1=0…（7分）
（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，曲線C是圓心為C（2，0），半徑r=1的圓，∴CP⊥OP，$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{OP}=0$∴化簡得（x-1）²+y²=1…（9分）
由于點(diǎn)P在圓內(nèi)，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x+3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{3}{2}$
所以C₁：${（{x-1}）^2}+{y^2}=1（{\frac{3}{2}＜x≤2}）$（注：范圍也可寫成$x＞\frac{3}{2}$）…（10分）
圓心到直線的距離d=$\frac{|-\frac{3}{2}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴$k=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
過（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）時，k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
因為直線$y=k（x-\frac{5}{2}）$與曲線C₁只有一個交點(diǎn)，所以$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤k≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$或$k=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查求圓的切線方程的方法，考查軌跡方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題．