Question

（2013•連云港一模）已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-mx2-x+

1

3

m，其中m∈R．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f?（x），解不等式f?（x）≥0，f?（x）≤0即得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）“對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等價于“函數(shù)y=f?（x），x∈[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于4”，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對m進(jìn)行分類討論即可求得f′（x）的最大值、最小值；
（3）易判斷y=f（x）既有極大值也有極小值，設(shè)f?（x₀）=0，即x₀²-2mx₀-1=0，由此對f （x₀）化簡得f （x₀）=-

2

3

x₀（m²+1），由（1）得到f（x）的極大值、極小值，根據(jù)極值的符號借助圖象可判斷函數(shù)f（x）零點的個數(shù)；

解答：解：（1）f?（x）=x²-2mx-1，
由f?（x）≥0，得x≤m-

m2+1

，或x≥m+

m2+1

；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，m-

m2+1

），（m+

m2+1

，+∞），減區(qū)間（m-

m2+1

，m+

m2+1

）．
（2）“對任意的x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4”等價于“函數(shù)y=f?（x），x∈[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于4”．
對于f?（x）=x²-2mx-1，對稱軸x=m．
①當(dāng)m＜-1時，f?（x）的最大值為f?（1），最小值為f?（-1），由 f?（1）-f?（-1）≤4，即-4m≤4，解得m≥-1，舍去；                                  
②當(dāng)-1≤m≤1時，f?（x）的最大值為f?（1）或f?（-1），最小值為f?（m），由 

f?(1)-f?(m)≤4 f?(-1)-f?(m)≤4

，即

m2-2m-3≤0 m2+2m-3≤0

，解得-1≤m≤1；     
③當(dāng)m＞1時，f?（x）的最大值為f?（-1），最小值為f?（1），由 f?（-1）-f?（1）≤4，即4m≤4，解得m≤1，舍去；
綜上，實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．
（3）由f?（x）=0，得x²-2mx-1=0，
因為△=4m²+4＞0，所以y=f（x）既有極大值也有極小值．
設(shè)f?（x₀）=0，即x₀²-2mx₀-1=0，
則f （x₀）=

1

3

x₀³-mx₀²-x₀+

1

3

m=-

1

3

mx₀²-

2

3

x₀+

1

3

m=-

2

3

x₀（m²+1），
由（1）知：極大值f（m-

m2+1

）=-

2

3

（m-

m2+1

）（m²+1）＞0，
極小值f（m+

m2+1

）=-

2

3

（m+

m2+1

）（m²+1）＜0，
故函數(shù)f（x）有三個零點．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的零點個數(shù)，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生解決問題的能力，具有一定綜合性．