Question

如圖所示，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過(guò)D點(diǎn)且與AB不垂直的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)是否存在這樣的直線l使與平行，若平行，求出直線l的方程，若不平行，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先以AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用曲線C過(guò)Q點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|PA|+|PB|的值不變可得曲線C為以O(shè)為中心，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，再求出對(duì)應(yīng)的a，b，c即可．
（Ⅱ）先把直線直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)和斜率的關(guān)系以及斜率的取值范圍，再利用與平行，求出對(duì)應(yīng)的斜率看是否符合要求即可．
解答：解：（Ⅰ）以AB，OD所在直線分別為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．（1分）
∴曲線C為以O(shè)為中心，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，（3分）
設(shè)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距為c
∴所以所求橢圓C的方程為（5分）
（Ⅱ）設(shè)存在這樣的直線l使與平行，設(shè)直線l方程為y=kx+2
消去Y，整理得（5k²+1）x²+20kx+15=0，（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）△=（20k）²-4（5k²+1）×15=20（5k²-3）＞0⇒．
，（9分）
，=（2，1）
∵與平行
∴=∴（11分）
∴與矛盾
所以不存在這樣的直線l使與平行（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題涉及到圓，直線于橢圓以及向量共線問(wèn)題，是對(duì)知識(shí)的綜合考查．作這一類(lèi)型題，一定要認(rèn)真讀題，把題中條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)．