Question

如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圓的直徑，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）因?yàn)椤螮AC=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BCF+∠ACF=∠ABC+∠BCF+∠ABF=∠BCF+∠FBC
又∠EAC=2∠FAB=2∠BCF
所以∠FCB=∠FBC，
所以FB=FC，（3分）
（2）因?yàn)樵凇鱂BA∽△FDB中，∠BFD是公共角，
由于同弦所對(duì)的圓周角相等，故∠FAB等于∠FCB，又由（1）∠FCB=∠FBC
故可得∠FBC=∠FAB
所以△FBA∽△FDB，所以

FB

FD

=

FA

FB

，整理得FB²=FA•FD（6分）
（3）∠EAC=120°，所以∠BAC=60°
因?yàn)锳B為直徑，所以∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
又∠DAC=60°，∠ACD=90°，可得∠ADC=30°
在直角三角形ABC中，由于BC=6，所以AC=2

3

在直角三角形ADC中，可得AD=4

3

（10分）